 |
|||||||||||||||||||||||
|
Se pueden definir las matemáticas como el campo donde nunca sabemos de qué hablamos, ni si el tema de que hablamos es cierto o no. En matemáticas no entiendes las cosas, te acostumbras a ellas.. Las matemáticas constituyen una de las cumbres intelectuales de nuestra cultura. Hasta el punto que, más allá de lo que ocurre con otros exponentes del saber humano como la literatura o el arte, ha arraigado en la sociedad la visión de las matemáticas como una ciencia enrevesada, hostil e incluso inaccesible. La capacidad para realizar operaciones matemáticas complejas, como el cálculo de una división o de una raíz cuadrada, requiere conceptos abstractos que solo son accesibles a la mente educada de un ser humano, puesto que dependen de habilidades simbólico-lingüísticas exclusivas de nuestra especie. Incluso un proceso relativamente sencillo como el de contar es un fenómeno simbólico, consciente, verbal y aprendido que un bebé humano tarda alrededor de cuatro años en dominar. En pocas palabras, todo indica que la capacidad de contar y realizar operaciones matemáticas es un reducto reservado a la especie humana. Sin embargo, ¿hay motivos para esperar la existencia de habilidades numéricas en otros animales? Desde un punto de vista evolutivo, esta pregunta representa un problema biológico fascinante. Los chimpancés viven en comunidades con una población que puede oscilar entre 20 y 150 individuos. La competencia entre comunidades vecinas suele ser intensa y, con relativa frecuencia, se establecen guerras que pueden acabar con el asesinato de miembros de una comunidad rival. Sin embargo, los chimpancés de una comunidad solo atacarán un rival si lo superan ampliamente en número. De la misma manera, cuando un grupo de leonas oye los rugidos de un grupo rival en los alrededores de su territorio, la decisión de atacar o no dependerá del número de leonas que hayan oído rugir con relación a su propio grupo. En definitiva, el axioma «el poder está en el número» explica aspectos del comportamiento social de gran cantidad de especies animales que parecen necesitar algún tipo de competencia numérica básica. Ahora bien, ¿realmente saben contar los animales? La clave para empezar a responder a este enigma evolutivo la encontramos en el estudio de bebés humanos en etapas preverbales. ■ MatemÁtiCas infantilEs Como ya hemos visto, la adquisición de un concepto simbólico de número depende de la existencia de un lenguaje. Sin lenguaje no hay concepto de número y, puesto que sin concepto de número no hay lugar para las matemáticas, el lenguaje se convierte en un requisito indispensable para el aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, y para sorpresa de gran parte de la comunidad científica, algunas investigaciones realizadas en los últimos años sugieren que el concepto simbólico de número no es el único posible. De hecho, parece que los seres humanos disponemos de dos sistemas innatos de representación numérica, de dos «sistemas de número», que están presentes en etapas preverbales de nuestro desarrollo y que, por consiguiente, son independientes de la adquisición de un lenguaje. El primero de estos sistemas es un «sistema exacto de número» (SENET) que nos permite valorar el número exacto de objetos de un conjunto siempre que este no sea superior a 4 en bebés o a 7 en adultos. Se trata de un proceso mucho más rápido que el proceso simbólico de contar y aparece en bebés de entre 9 y 12 meses, mucho antes de la adquisición de un lenguaje. Se puede comprobar cómo funciona con un experimento muy sencillo. Si preparamos dos grupos de, por ejemplo, 3 y 4 bolígrafos (o cualquier otro objeto al alcance de la mano) y se los presentamos simultáneamente a un amigo durante un breve instante (< 1s), será capaz de decirnos el número exacto de bolígrafos en cada grupo incluso en ausencia de tiempo suficiente para contar verbalmente los objetos. Nuestra mente nos permite realizar este «truco» porque almacena, en la memoria a corto plazo, representaciones mentales individuales de cada uno de los objetos de cada conjunto. De este modo, nos permite valorar de un vistazo la cantidad de objetos que hay en un solo conjunto, o bien comparar en paralelo dos conjuntos distintos e identificar cuál de los dos contiene un número más grande de objetos.. El segundo sistema de número, denominado «sistema aproximado de número», aparece incluso más pronto en el desarrollo, a partir de los seis meses de edad, y nos permite evaluar el número de objetos de un conjunto de manera aproximada. Este segundo sistema permite estimar conjuntos compuestos por un número de objetos muy por encima de 7, que constituye el límite operativo del «sistema exacto de número», pero solo nos permite hacer un cálculo aproximado del número de objetos de un conjunto. Esto es debido al hecho de que el tipo de representación mental que actúa en este sistema de número es radicalmente diferente al primero. En este caso, lo que almacena nuestra mente no es una representación individual de cada objeto, sino una magnitud análoga al número total de objetos del conjunto. En un experimento típico, se nos presentaría una pantalla de ordenador con dos conjuntos, por poner un ejemplo, de 19 y 29 puntos respectivamente. En esta situación, nuestro cerebro asocia a cada conjunto una magnitud continua que representa, de manera aproximada, el número total de objetos que contiene..
El «sistema aproximado de número» nos permite estimar conjuntos compuestos por un número de objetos muy por encima de siete. Aunque no se trata de un proceso en serie, podemos visualizarlo cómo si nuestro cerebro vertiera un vaso de agua en la vasija imaginaria A por cada objeto presente en el conjunto A (debajo). El incremento de agua por cada objeto es discreto, pero el resultado final es una magnitud continua o, en otras palabras, una cantidad incontable de agua. Al final del proceso, lo que contiene nuestra memoria es la representación mental de dos magnitudes continuas (la vasija A y la vasija B) donde la cantidad de agua representa el número aproximado de objetos de cada conjunto. La representación es aproximada porque la memorización es imprecisa. Por lo tanto, obtenemos una percepción aproximada de la cantidad de objetos en cada conjunto, lo cual nos permite aventurar cuál de los dos es mayor (en este caso el grupo A). En resumen, los seres humanos disponemos de dos sistemas de número que nos permiten contar sin la necesidad de aprender a contar. Bien es cierto que parecen mecanismos rudimentarios, al menos si los comparamos con nuestra habilidad para contar simbólicamente. Tanto es así, que muchos científicos se refieren a estos dos sistemas como «sistemas fundamentales de número» para distinguirlos del concepto simbólico y aprendido de número, que nos permite contar verbalmente. Ahora bien, esto no nos tiene que hacer perder de vista la enorme utilidad que estos sistemas han podido tener a lo largo de la evolución. Al fin y al cabo, se trata de sistemas que nos permiten «contar» en etapas del desarrollo en las que no hay un método alternativo y, además, en situaciones en las que no disponemos de tiempo para invocar fenómenos cognitivos conscientes como los responsables de contar verbalmente. Con esto en mente, no es difícil especular sobre las múltiples ventajas evolutivas que la adquisición de este tipo de sistemas pudo reportar tanto para nuestros antepasados como para otras muchas especies de animales. Además, se trata de mecanismos que no requieren capacidades cognitivas excesivamente complejas, por lo cual parecen la solución perfecta a nuestro enigma evolutivo.. Si por contar entendemos usar un sistema fundamental de número para evaluar la cantidad de objetos de un conjunto, la respuesta es indudablemente que sí. De hecho, hace ya algún tiempo que sabemos que muchos vertebrados exhiben sistemas de número que comparten las mismas propiedades que los nuestros, por lo cual el razonamiento evolutivo más sencillo es suponer que se trata de los mismos sistemas fundamentales de número surgidos a partir de un antepasado común. ¿Cuándo? Como en tantas otras ocasiones en la historia de la biología, las hipótesis sobre el posible origen evolutivo de nuestros sistemas fundamentales de número han ido variando gradualmente a medida que se ha ido ampliando el espectro de especies estudiadas. Muy probablemente debido al antropocentrismo que todavía impera en muchos campos de la biología, tradicionalmente se había asumido que estos sistemas debían de ser exclusivos de los primates. Sin embargo, pronto se descubrió que también existían en especies de mamíferos más alejadas evolutivamente, como las ratas, así como también en muchos otros grupos de vertebrados (pájaros, peces y anfibios). Estos descubrimientos sitúan el origen evolutivo de los sistemas fundamentales de número en algún antepasado común a todos los vertebrados, hipótesis que ha permanecido inalterada durante los últimos años. A pesar de esto, estudios aparecidos en los últimos meses apuntan hacia un origen evolutivo mucho más primitivo. En un artículo publicado en octubre de 2008 en la revista científica Animal Cognition, investigadores de la Universidad de Queensland, Australia, demuestran que las abejas de la miel (Apis mellifera) son capaces de contar el número de puntos de referencia que sobrevuelan para encontrar una fuente de alimento con la única condición de que estos sean menos de cuatro. Es difícil evitar el paralelismo con el sistema exacto de número, el límite funcional del cual es también de 4 tanto en bebés humanos como en otros vertebrados. Por otro lado, en un trabajo acabado de publicar por nuestro equipo de investigación en la misma revista, presentamos unos resultados que sugieren que los escarabajos de la harina (Tenebrio molitor) pueden exhibir un sistema de número que, por sus características, recuerda el sistema aproximado de número presente en vertebrados. Aunque con carácter preliminar, este tipo de estudios hacen pensar que se trata de sistemas cognitivos mucho menos exclusivos de lo que se había sospechado hasta hoy. ■ De los sistemas fundamentales de número a las matemáticas simbólicas Recapitulemos un poco. Los seres humanos compartimos, con otras muchas especies de animales, una serie de sistemas innatos de número. Estos sistemas son independientes del lenguaje, y explican las habilidades matemáticas rudimentarias presentes tanto en los bebés como en otras especies de animales, pero ¿qué sucede con nuestras habilidades para las matemáticas simbólicas? ¿Qué factor marca el paso de la aparente sencillez con que cuenta un bebé a la exuberante complejidad de los logaritmos, los números imaginarios o los fractales? La respuesta a esta pregunta es, indudablemente, la cultura. Desde la invención (o el descubrimiento) del cero en el desarrollo del cálculo, pasando por la comprensión de los números negativos, racionales y reales, el surgimiento de los conceptos matemáticos está inexorablemente relacionado con el desarrollo de nuestra historia cultural. Sin embargo, hay que preguntarse sobre el origen de las habilidades cognitivas que han permitido este desarrollo. ¿De dónde provienen los mecanismos que permiten a nuestro cerebro entender y desplegar conceptos matemáticos puramente simbólicos? Hasta hace poco, el consenso entre la comunidad científica era que estos mecanismos son los mismos responsables de nuestras habilidades simbólico-lingüísticas; de nuestro lenguaje. Partiendo de los llamados sustratos neurales, nuestras habilidades matemáticas no serían más que fruto de un proceso de aprendizaje. Sin embargo, algunos científicos empiezan a cuestionar muy seriamente la validez de esta hipótesis. En un artículo publicado también en octubre de 2008 en la revista Nature, el doctor Halberda y sus colaboradores de la Universidad John Hopkins, en los EE. UU., presentan los resultados de un trabajo en el que sometieron a estudiantes de catorce años de edad a una batería de experimentos, de dificultad creciente, en los que analizaron su capacidad para discriminar entre dos conjuntos de objetos usando el sistema aproximado de número. Sus resultados demuestran que la habilidad para usar este sistema de número varía mucho de un individuo a otro, lo cual es todavía más sorprendente; que la capacidad de una persona determinada para usarlo está íntimamente relacionada con su aptitud para las matemáticas simbólicas. En otras palabras, los estudiantes que muestran una habilidad destacada al utilizar el sistema aproximado de número también exhiben una aptitud elevada en matemáticas y viceversa. Paralelamente, trabajos recientes del doctor Dehaene, un experto mundial en la materia, demuestran que las áreas cerebrales implicadas en el sistema aproximado de número se activan cuando realizamos operaciones matemáticas simbólicas. Estos resultados indican que este sistema ejerce un papel fundamental tanto en el aprendizaje como en la ejecución de operaciones complejas, y sugieren que el lenguaje no es, al menos por sí solo, el responsable de nuestras habilidades matemáticas. El calado de este descubrimiento es mayor de lo que puede parecer a simple vista, puesto que significa dar un nuevo paso en contra de la idea, todavía muy extendida en determinados círculos académicos, de que nuestro cerebro es una tabula rasa sobre la que «se escribe» nuestra experiencia. Así mismo, y una vez más, nos obliga a introducir una perspectiva evolucionista en el estudio de un campo del comportamiento humano que siempre hemos considerado un hito de nuestra cultura, y que creíamos al margen de la fuerza de la evolución: las matemáticas. ■ AritmÉtica animal Una consecuencia añadida de estos descubrimientos es la siguiente: Si al menos parte de nuestras habilidades matemáticas dependen de un sistema innato y evolutivamente arcaico que compartimos con otros animales, parece lícito plantearse la posibilidad de que otras especies exhiban habilidades matemáticas más complejas que la simple capacidad para contar. Las últimas y más concluyentes investigaciones en este sentido provienen de los estudios realizados por el equipo de las doctoras Jessica Cantlon y Elizabeth Brannon, de la Universidad de Duke, en los EE. UU.. En ellos, demuestran que los monos Rhesus no solo utilizan el sistema aproximado de número para representar cantidades, sino que son capaces de comparar estas representaciones para ordenar grupos de objetos de menor a mayor (el principio de ordenación, uno de los principios básicos de la aritmética). Más aún, Cantlon y Brannon ponen en evidencia que estos monos son capaces de sumar cantidades aproximadas. Las pruebas disponibles indican que los procesos subyacentes a estas operaciones son idénticos en humanos y en monos Rhesus. Ambos somos capaces de realizar operaciones aritméticas sencillas (ordenación, suma) mediante el sistema aproximado de número, sin recurrir a procesos conscientes asociados al lenguaje. En vista de estos últimos descubrimientos, resulta difícil predecir hasta qué punto nuestra habilidad para las matemáticas simbólicas depende de mecanismos cerebrales innatos, fruto de la evolución. El futuro deberá conducirnos por estas y otras sendas apasionantes en busca de las presiones de selección que hayan podido dar lugar a la evolución de los sistemas fundamentales de número. Sistemas que no solo nos permiten representar números de manera aproximada, sino también operar sobre estas representaciones para ordenarlas, sumarlas y, quién sabe, quizás incluso restarlas, multiplicarlas y dividirlas. Probablemente, las respuestas a estas preguntas las encontremos en contextos sociales comunes a un elenco de animales mucho más amplio de lo que podríamos haber sospechado, desde los primates a, ¿por qué no?, las abejas y los escarabajos. Pau Carazo. Grupo de Etología, Instituto Cavanilles de Biodiversidad y Biología Evolutiva. Universitat de València. |
© Ana Ponce & Ivo Rovira
«La capacidad para realizar operaciones matemáticas complejas requiere conceptos abstractos que solo son accesibles a la mente educada de un ser humano»
«Si por contar entendemos usar un sistema fundamental de número para evaluar la cantidad de objetos de un conjunto, la respuesta a si los animales saben contar es indudablemente que sí»
«En vista de los últimos descubrimientos, es difícil predecir hasta qué punto nuestra habilidad para las matemáticas simbólicas depende de mecanismos cerebrales innatos, producto de la evolución» |
||||||||||||||||||||||
|
El caBallO que no saBía coNtar Una de las anécdotas más famosas en la historia del comportamiento animal explica el caso de Hans, «el Listo», el caballo que sabía aritmética. Hans era propiedad de Wilhelm von Hosten, profesor alemán de matemáticas, frenólogo y entrenador aficionado de caballos que maravilló a la sociedad alemana de principios del siglo XIX con las habilidades matemáticas de su caballo. Aparentemente, von Hosten había enseñado a su caballo Hans, llamado «el Listo» por la prensa de la época, a contar, sumar y restar. Como era de esperar, el hallazgo levantó mucho revuelo y expectación entre la sociedad. Las noticias de las exhibiciones públicas de talento de von Hosten y su caballo llegaron hasta el gobierno alemán, que acabó encargando la formación de un comité de investigación compuesto por trece expertos que incluía el famoso psicólogo y filósofo de la época Carl Stumpf. Ante la mirada atónita del comité, cuando von Hosten escribía un número, una suma, o una resta en la pizarra situada frente a Hans, este respondía golpeando el suelo con su pezuña el número correcto de veces. En septiembre de 1904, el informe del comité concluyó que no había trucos involucrados y que, por lo tanto, Hans era capaz de contar y realizar operaciones aritméticas simples. La historia no quedaría aquí. Poco tiempo después, Oscar Pfungst, brillante psicólogo alemán, sacó al comité de su error. Después de un estudio detallado, Pfungst demostró que Hans no era capaz de realizar operaciones matemáticas sino que respondía al lenguaje corporal de su amo. Involuntariamente, la anticipación hacía que von Hosten se inclinara hacia adelante y cambiara la expresión de la cara cuando Hans lograba el número correcto de golpes, signos que el caballo había aprendido a interpretar como señal de que tenía que parar. Pfungst demostró fehacientemente que Hans había aprendido a responder ante estas sutilezas, descubriendo a su vez lo que hoy conocemos como el efecto «observador-expectativa» o efecto de Hans el Listo. Así fue cómo Oscar Pfungst demostró que Hans no podía contar y, así pues, devolvió las matemáticas al lugar de donde nunca tendrían que haber salido: el ámbito único e intransferible del saber. ¿O quizás no? Pau Carazo. Grupo de Etología, Instituto Cavanilles de Biodiversidad y Biología Evolutiva. Universitat de València. |
