Entre las matemáticas y la música

Fractales, un breve recordatorio

    Los fractales, con el nombre de curvas no derivables o no rectificables, aparecieron en las matemáticas hacia finales del siglo XIX. En un principio, debido a su carácter eminentemente patológico, que desafiaba los cimientos de la geometría de la época, estos monstruos matemáticos fueron tomados como meras curiosidades. Eran curvas o superficies infinitamente plegadas, líneas de longitud infinita confinadas en una región acotada, superficies no derivables en ningún punto…

Es a partir de los años 70 cuando comienzan a vislumbrarse sus primeras aplicaciones en la modelización de estructuras reales. Mientras la geometría diferenciable asume que a pequeña escala la estructura de cualquier objeto se suaviza, la geometría fractal aborda el estudio de formas geométricas no diferenciables, o quebradas a cualquier escala. La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas, de forma que el objeto en cuestión no pierde complejidad por muy pequeño que sea el entorno que consideremos del mismo. Algunas estructuras naturales susceptibles de una modelización más fiel mediante geometría fractal son la estructura de nuestros pulmones, las líneas de costa, los copos de nieve o el crecimiento urbano. El término fractal (del latín fractus, “fragmentado” o “irregular”), con el que hoy se designa a este tipo de conjuntos, fue acuñado por Benoit Mandelbrot.

A pesar del amplio espectro de conjuntos que engloba la definición dada por el propio Mandelbrot en su libro The Fractal Geometry of Nature, los fractales más utilizados en la creación de música fractal son los atractores extraños. Los atractores extraños son invariantes de sistemas dinámicos caóticos. Un ejemplo de sistemas dinámicos considerados caóticos son aquellos que presentan un comportamiento aperiódico (ésto es, resultado de oscilaciones regulares que no se repiten nunca, de período infinito) resultado de un modelo totalmente determinista y que presenta gran sensibilidad a las condiciones iniciales. La sensibilidad a las condiciones iniciales implica que existe una divergencia exponencial de trayectorias inicialmente muy próximas en el espacio de fases. Por otra parte, el hecho de que la región del espacio de fases ocupada por el atractor sea acotada a causa del carácter disipativo de estos sistemas provoca también que dos trayectorias lejanas se acerquen mucho en alguna región.

Si representamos el diagrama de fases de un sistema dinámico, las dos fuerzas anteriores generan una estructura confinada en una región del espacio de fases que se conoce como atractor extraño. Como la región en la que está ubicado el atractor es acotada, se tiene, al seguir una trayectoria cualquiera, una curva de longitud infinita encerrada en un área finita. Como consecuencia un atractor extraño posee estructura fractal.

Algunos de los resultados más espectaculares obtenidos con la iteración de un sistema dinámico se dan al considerar funciones de variable compleja. El conjunto de Julia de un polinomio de variable compleja se define como la frontera del conjunto de puntos que escapan al infinito al iterar dicho polinomio. Esto significa que la órbita de un elemento del conjunto de Julia no escapa al infinito, pero existen puntos arbitrariamente cerca de él que sí que lo hacen.

Dentro de los polinomios de variable compleja, han suscitado especial interés los polinomios cuadráticos de la forma f(z)=z·z+c, donde c y z son números complejos. Julia probó que la órbita del punto crítico z=0 juega un papel esencial a la hora de saber si un conjunto de Julia es o no conexo. Si esta órbita escapa al infinito, el conjunto aparece fragmentado como polvo fractal. En caso contrario el conjunto de Julia es conexo.

Dada esta división de los conjuntos de Julia, cabe preguntarse por el conjunto de valores de c que generan conjuntos de uno u otro tipo. Esta cuestión no fue totalmente resuelta hasta 1978, cuando Mandelbrot representó en un plano todos los valores de c que producían conjuntos de Julia conexos, consiguiendo la primera representación del conjunto que hoy lleva su nombre. Dicho conjunto tiene estructura fractal al igual que los conjuntos de Julia.

Rafael Ríos. Pianista y estudiante de tercer curso de la Facultad de Matemáticas de la Universitat de València.
Mario García.
Estudiante de tercer curso de la Facultad de Matemáticas de la Universitat de València.
© Mètode 37, Primavera 2003

 

«El término ‘fractal’ (del latín  fractus, ‘fragmentado’ o ‘irregular’) con el que hoy se designa a este tipo de conjuntos fue acuñado por Benoit Mandelbrot »

 

© Mètode 2013 - 37. Fondo y forma - Disponible solo en versión digital. Primavera 2003