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Las paradojas –y los problemas que estas suscitan a la lógica– pueden rastrearse, como objeto de reflexión, desde los sofistas hasta los matemáticos y filósofos del lenguaje contemporáneos, pasando por Aristóteles, Abel o Russell, mientras el álgebra retórica se convertía en álgebra sincopada y finalmente en álgebra simbólica. La paradoja se puede ver como un estorbo que impide el razonamiento aséptico, pero también como un estímulo provocador para la imaginación y para la praxis argumentativa o persuasiva, un recurso retórico que ha movilizado a lo largo de la historia las energías del pensamiento riguroso con el fin de evitar el «contrabando» de las falacias en los discursos de todo tipo. Un reto, pues, que suscita la creatividad en el ámbito de una cultura deudora de la tradición retórica. Palabras clave: retórica, lógica, argumentación, paradoja, autorreferencia. Las paradojas en el ámbito de la retórica clásica Hace ahora veinticinco siglos, en Grecia, se produjo un hecho del todo trascendente por lo que respecta al desarrollo de la cultura y, por tanto, de nuestra especie. Unos hechos determinantes, un contexto sociopolítico y económico relacionado con el advenimiento de la democracia, condujeron la reflexión filosófica de la realidad, del mundo, o del ser –es igual– hacia el lenguaje. Recordemos que toda la filosofía anterior, de Tales a Parménides, había tomado como objeto el mundo, la naturaleza, en un deseo de dar cuenta de los fenómenos naturales. Los sofistas, en cambio, ya sitúan el lenguaje como principal objetivo de la reflexión. Estudian estrategias discursivas y comunicativas con el fin de adiestrar en el uso de la palabra. A partir de ellos una buena parte de la gran filosofía griega se convertirá en filosofía del lenguaje ya sea en forma de retórica, de lógica, de poética o de gramática (Serrano, 1996; Vega Reñón y Olmos González, 2011). Platón y Aristóteles son los sintetizadores. Con el advenimiento de la democracia, en la tradición griega, podemos encontrar el interés y el gusto por la argumentación, la dialéctica y la construcción de discursos con la intención de hacerlos eficaces. Cada vez había más conciencia de que la capacidad de persuadir concede un poder indudable a aquel que la posee: el de disponer de las palabras sin necesidad de las cosas, y el de las personas al disponer de las palabras, del discurso. En una sociedad como aquella en que ciertas clases populares habían accedido a la vida democrática, la argumentación y el debate públicos tuvieron una gran importancia y llegaron a ser habituales en el ágora y en los tribunales de justicia. La buena formación era fundamental. Una de las estrategias discursivas habituales para salir airoso en los debates consistía, por ejemplo, en partir de las premisas del adversario y llegar, como consecuencia lógica, a un imposible. Aristóteles señala a Zenón de Elea y a Sócrates como maestros de este plan estratégico. En aquel tiempo en el que la argumentación era estelar empezaron a aparecer ciertas falacias que obligaron a reflexionar sobre las condiciones generales que deberían caracterizar un buen razonamiento. Por ejemplo, un razonamiento como «Este perro es padre. Este perro es de su amo. Por tanto, este perro es padre de su amo». He aquí cómo este resulta ser un razonamiento engañoso, aunque sigue exactamente un esquema de razonamiento correcto. Tal como pasa en «este objeto es una cajita, este objeto es azul, por tanto este objeto es una cajita azul». Ejemplos como estos, seleccionados de importantes debates de aquel momento, sabemos que eran materia de reflexión de Aristóteles en su busca de las leyes fundamentales del arte del buen razonar. Además, Aristóteles reflexionaba también sobre las argumentaciones de los geómetras inmersos en el problema de descubrir el arte deductivo, las demostraciones, que les llevase a superar la larga crisis planteada en torno de los números irracionales o también de los infinitésimos. La paradoja de Zenón, la de Aquiles y la tortuga, era centro de muchos debates. Como es bien sabido, la cosa iba así: Aquiles, «el de los pies ligeros», compite en carrera con una tortuga, dándole una ventaja inicial a esta, pero cuando el guerrero llega al punto de donde salió la tortuga, esta ya ha recorrido un pequeño tramo más, razón por la que Aquiles debe seguir un nuevo trayecto hasta el punto adonde había llegado la tortuga en esta fase de la carrera, ya que el animal ha avanzado un poco más; y así sucesivamente, de forma que –desde un punto de vista de cálculo matemático, pero contra la evidencia empírica– el corredor de los pies ligeros no acabaría nunca de superar la distancia que le separa del lento animal. |
«La paradoja se puede ver como un estorbo que impide el razonamiento aséptico, pero también como un estímulo provocador para la imaginación» |
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«La expresión de los enunciados matemáticos, el proceso de simbolización y formalización, representa uno de los esfuerzos metodológicos y epistemológicos más impresionantes de la mente humana» |
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Ciertamente, la reflexión sobre la validez de la argumentación se habría convertido casi en obsesiva, ya que era el eje generador tanto del discurso de la geometría como del de la retórica y este último era, hasta cierto punto, la madre de todos los discursos. Aquí está el porqué del interés de Aristóteles por establecer una especie de «botánica» de la argumentación, es decir, una clasificación sistemática que él llamó silogística, en diferentes modos de silogismo que oponía al silogismo retórico. Los modos silogísticos resultaban una estructura carente de la flexibilidad que convenía a muchos de los argumentos empleados en geometría o en el ágora. Por eso escuelas como la de los estoicos o de los megáricos formularon esquemas lógicos alternativos que no eran silogísticos y que permitían operar con más fluidez y flexibilidad. Eran un buen ejemplo el par de reglas de inferencia llamadas modus ponens –es decir, «si p entonces q; es así que p, por tanto q»– y modus tollens –«si p, entonces q; es así que no q, por tanto no p». Está claro que, desde Platón, había que ligar la validez de la argumentación al concepto de verdad y eso llevaría a la proliferación de un fenómeno lingüístico, lógico y matemático fascinante, las famosas paradojas que surgieron como setas en el seno del campo de los discursos. En este sentido, los griegos formularon algunos de los enigmas, de los rompecabezas lógicos que hasta el día de hoy han estado atormentando a matemáticos, retóricos y filósofos. Los sofistas llegaron a especializarse en el papel de aturdir y confundir a sus contrincantes en los debates –a menudo como meros ejercicios retóricos en el circo de la palabra–, aunque la mayoría tan solo pretendía mantenerse a flote en medio de un discurso pantanoso basado en trucos dialécticos. Hubo un puñado de enigmas turbadores y desconcertantes que resistieron tercamente todo tipo de indagaciones. La mayor parte se originan en lo que conocemos como «falacias del círculo vicioso», que se debe a que se ignora el principio fundamental que implica que el todo de una totalidad dada no puede ser, él mismo, miembro de esta totalidad. Nos ha llegado, por ejemplo, tras viajar por toda la lógica medieval, la conocidísima paradoja del barbero. He aquí que el barbero del pueblo es aquel que afeita a todas las personas que no se afeitan ellas mismas. Entonces, ¿el barbero se tiene que afeitar o no él mismo? Si lo hace, afeita a alguien que se afeita él y así rompe su propia regla, y si no lo hace, además de quedar sin afeitar, rompe también la regla de no afeitar a una persona del pueblo que no se afeita ella misma. Otra buena parte de estos enigmas tienen que ver con la tradición de la paradoja del mentiroso, también conocida como la paradoja de Epiménides, cretense él, que hizo inmortal el enunciado: «Todos los cretenses son mentirosos», que admite las variantes «Estoy mintiendo» o «Este enunciado es falso». Fijémonos en que es un enunciado que de manera brutal contradice la dicotomía universalmente aceptada entre enunciados verdaderos y falsos. Cuando afirmo «Lo que digo es falso», lo que digo no puede ser verdad, ya que entonces el enunciado es falso. Y no puede ser falso porque entonces sería verdad. No es ni verdadero ni falso, o es las dos cosas a la vez, o mejor, es verdadero si es falso, y falso si es verdadero. El descubrimiento de esta circularidad casi angustiante, contradictoria e inconcebible no debe llevar ni al lenguaje ni a la vida social a pararse como consecuencia de una colisión fascinante. Algo parecido se podría producir al hablar de temas como la «selección natural» en biología. Así, la selección natural selecciona al más apto. ¿Quién es el más apto? Quien selecciona la selección natural… Sin embargo, la contrariedad, la desolación e incluso el desconsuelo –pienso en la letra que le llega a Gottlob Frege de parte de Bertrand Russell– empieza al querer construir un edificio lógico, por implicar a la matemática, sin ningún tipo de fisura. La paradoja del mentiroso circula por todas las escuelas de lógica que van del mundo medieval al moderno. A mí me encanta la de los cazadores cazados. Diría más o menos así: la caza en los territorios de un príncipe se castigaba con la pena de muerte. Sin embargo, más tarde se le ocurrió decretar que «a todo aquel que fuese sorprendido cazando se le ofrecería el privilegio de decidir si sería colgado o decapitado». El reo diría una frase y si era falsa sería colgado, mientras que si era cierta sería decapitado. Un chico muy avispado, lógico, aprovechó esta dudosa prerrogativa y afirmó: «Me colgaréis». No contaban con este dilema y él les espetó un razonamiento elegante: «si me colgáis transgrediréis las leyes del príncipe, ya que me deberíais decapitar al decir la verdad, y si me decapitáis también las transgredís, ya que, si lo hacéis, lo que he dicho es falso y por tanto me deberíais colgar». En mi libro La Paradoja (Serrano, 1985), recojo –y construyo– muchos ejemplos de paradojas de mentirosos. Por cierto, una variante la encontramos en El Quijote. Se la endosan al pobre Sancho Panza cuando es gobernador de la Ínsula Barataria y tiene que decidir si se debe dar muerte o no al prisionero que suscita una paradoja semejante. Él lo resuelve de una forma práctica, aplicando la máxima de favorecer al reo en caso de duda. |
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El desarrollo del álgebra Nos ha llegado un epitafio escrito en la tumba que guarda las cenizas del famoso matemático Diofanto, que vivió en Alejandría en el siglo iii, en forma de enigma. Nos hace saber que su infancia fue un sexto de su vida, que su barba creció durante un duodécimo más, hasta que tras una séptima parte «se encendió la llama del matrimonio» y que su hijo nació cinco años más tarde para vivir solo la mitad de la vida entera del padre, que vivió cuatro años más tras la muerte del hijo en medio de un desconsuelo solo mitigado «por la investigación en el arte de los números». Hoy es muy fácil de resolver este enigma. Si x es la edad en la que muere Diofanto, entonces: x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x Y he aquí que el gran Diofanto habría vivido hasta los 84 años. El estudio de la expresión de los enunciados matemáticos, el proceso de simbolización y formalización, representa uno de los esfuerzos metodológicos y epistemológicos más impresionantes de la mente humana, que deben conducir a generar los más sofisticados formalismos que abran las puertas a la inteligencia artificial. Hoy, tal como vemos en la elemental ecuación de la edad de Diofanto, la solución es casi inmediata. En cambio, solo el problema de la notación de las expresiones de los enunciados de la geometría o de la aritmética griega ya era considerable. Muchas de las formulaciones modernas son el resultado de una transcripción de las griegas presentadas originalmente en varias formas de lenguaje ordinario donde proliferaban palabras de un amplio espectro semántico. En realidad, una buena notación no la encontramos hasta la obra del matemático Vieta, a finales del siglo xvi, y no se generalizará la formulación algebraica que conocemos hasta la mitad del siglo xvii, y aún con ciertas reminiscencias del lenguaje ordinario, lo que ha llevado a los estudiosos del álgebra a establecer la distinción, por etapas, entre álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica. La aritmética de Diofanto, y una buena parte de la matemática griega, reaparece durante el siglo ix traducida, y bien digerida y comentada, al árabe. También ve la luz a principios del siglo ix el primer tratado de álgebra obra de Al-Khwarizmi. Durante mucho tiempo el álgebra será considerada como la ciencia de las ecuaciones. Todos estos tratados, traducciones y comentarios árabes, aritméticos y algebraicos, entran en Occidente a través del matemático Fibonacci a principios del siglo xii. Fibonacci hace una auténtica apología del sistema de numeración hindú a través del árabe vigente hasta hoy. Enseña a leer y a escribir los números e informa sobre las reglas de cálculo, la operatividad entre los números, enteros y fraccionarios, la extracción de raíces cuadradas y, sobre todo, los métodos, los algoritmos, de resolución de ecuaciones, de las de primer y de segundo grado, y eso lo hace bajo la forma de un exquisito modelo de teoría de la argumentación, que, en definitiva, no deja de ser –tal como afirmaba Aristóteles– el tabernáculo de la retórica. Asentada el álgebra, empieza la carrera por la resolución de las ecuaciones de tercer grado, y después de cuarto. Resolver una ecuación quería decir determinar el valor de la variable mediante un cálculo –un algoritmo– que afectaba solo los coeficientes que acompañaban la variable en sus diferentes grados. En el siglo xvi, Gerolamo Cardano y Niccolò Fontana (conocido como «Tartaglia», que quiere decir “tartamudo”) encontraron una solución para la de tercer grado ax3 + bx2 + cx + d = 0 y más tarde, un discípulo de Cardano, Lodovico Ferrari, resolvió a final del siglo la ecuación de cuarto grado. Los esfuerzos ingentes de los algebristas más famosos encontraron un gran obstáculo, un punto crítico, en la resolución de la ecuación de quinto grado hasta que el matemático Niels Henrik Abel en 1826 consiguió demostrar la imposibilidad de resolverla –y también las posteriores– por los procedimientos habituales. Toda una frustración para los grandes cerebros matemáticos. Sin embargo, Niels Henrik Abel introduce otra manera de operar ante un problema de álgebra. Por primera vez se hace la gran pregunta: ¿Qué quiere decir resolver un problema? Y diseña un programa sobre procedimientos para resolverlo y sobre cómo formular estos procedimientos. Una verdadera reflexión sobre el discurso de la resolución de problemas y cómo –en nuestro lenguaje– podríamos estandarizar estos procedimientos, algoritmos, cómo los podríamos formalizar e, incluso, automatizar. Otra cara de la teoría de la demostración y de la teoría de la argumentación. Lógica y núcleo de la retórica configuradas al unísono. |
«Niels Henrik Abel (1802-1829) introduce otra manera de operar ante un problema de álgebra. Por primera vez se hace la gran pregunta: ¿Qué quiere decir resolver un problema?» |
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La lógica y la matemática contemporáneas Hacia 1885 el matemático alemán Georg Cantor formula una teoría atractiva y robusta que significaría un reto muy fuerte para la intuición, la famosa teoría de conjuntos. El impacto en el mundo de la lógica y la matemática fue enorme, ya que más de uno pensó que podía convertirse en la gran teoría abstracta reunificadora de las diferentes ramas de las matemáticas. Muy temprano un lógico de la categoría de Frege se aventuró a fundamentar la aritmética sobre la base de la teoría de conjuntos, tarea en la que trabajó bastante tiempo. Al acabarla, envió el resultado –los fundamentos de la aritmética– a algunos de los matemáticos más preparados del momento. Lo hizo a Russell, que le contestó enseguida con una carta tal que el propio Frege piensa que no se la desearía ni al peor enemigo. Pero, he aquí que Russell detectó unas paradojas que aparecen enseguida en el sistema de Frege, introduciendo así unas debilidades que amenazan toda la construcción. Russell le recuerda una paradoja –conocida como la Paradoja de Rusell– que en la formulación que le dio Kurt Grelling viene a decir lo siguiente: dividiremos todos los predicados en dos grandes categorías (conjuntos), los que se pueden predicar –decir– de sí mismos, como es el caso de polisilábico, que efectivamente es una palabra polisilábica, o el caso de castellano, que ciertamente es un palabra castellana (ya que la palabra polisilábico contiene, ella misma, varias sílabas, y la palabra castellano es una unidad léxica que podemos encontrar en un diccionario de esta lengua). Estos predicados los llamamos autológicos y el conjunto que los contiene, autológico. Por otro lado, serán heterológicos los que no se pueden predicar de ellos mismos, tal como pasa con monosilábico o catalán, ya que la primera palabra no es monosilábica y la segunda no es catalana. La gran pregunta es para el predicado heterológico. ¿Qué es, autológico o heterológico? ¿A qué conjunto pertenece? No puede pertenecer más que a uno de los dos. Y, si es autológico entonces es heterológico y en caso de ser heterológico sería autológico. Dicho de otra manera, solo puede ser autológico en el caso de ser heterológico y al revés. Y solo pertenece al conjunto autológico si no pertenece a él. «¡Dios mío!» exclamaría Frege. Hace aguas así el principio aristotélico del tercio excluso (está vivo o está muerto: A es B o no es B, sin posibilidades intermedias). Este hecho mina la base de la teoría La autoreferencia es la raíz del mal, el oxígeno que alimenta la llama. La paradoja está en que hay un enunciado sobre un enunciado. Decir «este enunciado es falso» es metalenguaje. Lenguaje sobre el lenguaje y es así que el conjunto «paradójico» de Russell no es más que el resultado de un descuido, de no ver que hay que diferenciar entre conjuntos y metaconjuntos, un conjunto de conjuntos. El problema era la mezcla de niveles, de tipo, que dirá Rusell. La solución, marcar bien las fronteras y los tipos, diferenciar claramente los niveles de abstracción. Así las reglas de los monumentales Principia mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead no tendrán que permitir el circuito cerrado de realimentación reversible como la pescadilla que se muerde la cola y que abría la posibilidad de autocontradicción. De hecho, era un auténtico cortafuego que impedía el vicio de circularidad en los razonamientos. Las reminiscencias de la paradoja del «mentiroso» desaparecían de la escena definitivamente. Parecía que todo era perfecto en el mundo de la lógica. Durante la primera década del siglo xx también Hilbert vivía con el corazón encogido por la crisis perceptible en el seno de las matemáticas a causa de las paradojas y eso lo lleva a hacer un llamamiento a los matemáticos para que «pongan orden» a la teoría de conjuntos de Cantor sobre una base axiomática sólida –como Russell– integrada por un número limitado de postulados. Eso marcó un giro importante de énfasis hacia la abstracción en las matemáticas. Los matemáticos se alejan cada vez más del «contenido intuitivo», en este caso formado por superficies o líneas hacia una situación en que los términos matemáticos se liberan de su contenido directo y simplemente se definen de manera axiomática dentro del contexto, del marco, de una teoría. La era del formalismo había llegado y tanto podían referirse a números, líneas rectas o nubes o corazones rotos. Este formalismo dio un fuerte impulso a la aplicación de las matemáticas para resolver problemas que hasta entonces se consideraban imposibles de someter a un tratamiento altamente formalizado. David Hilbert, y después André Weil y John von Neumann, tuvieron un éxito considerable a la hora de ampliar la aproximación axiomática a una serie de problemas nuevos: quizá los más emblemáticos de la nueva física, como la mecánica cuántica, pero también los de la lógica o los de la nueva teoría de juegos. La matemática se había convertido en algo más que una profesión, ahora era una aventura maravillosamente dinámica. Con Alan Turing, Claude Shannon o Norbert Wiener empezaba a cuajar una idea fantástica, que la mente humana podría conseguir cualquier cosa con ideas matemáticas. Sin duda, lo encontramos intelectualmente fascinante y estéticamente muy atractivo. Sí, y en matemáticas se harán muchos avances gracias al hecho de ver relaciones insospechadas entre objetos que parecen intratables y otros que los matemáticos ya tienen más por la mano. Sin embargo, en un momento de mucho optimismo matemático como aquel, llegará Kurt Gödel con su teorema de la incompletitud para aguar el optimismo de Hilbert y Russell (Hofstadter, 1979). ¡Las paradojas estaban muy vivas! Con un ejercicio lógico impecable, de los más brillantes, más difíciles y más sorprendentes de la lógica moderna, Gödel se propone demostrar que el método axiomático formal que tanto y tan bien ha servido a la matemática tiene sus limitaciones. En cierta medida nos dice que la deducción formal se ha refutado, en parte, a sí misma. Eso sí, tal como nos quieren hacer ver Ernest Nagel y James R. Newman en su célebre trabajo El teorema de Gödel (Nagel y Newman, 1970), la demostración de Gödel no es motivo para la desesperanza, más bien al contrario, justifica «una nueva apreciación del poder de la razón creadora». Pensamos que las paradojas, que empezaron como una piedra en el zapato del buen razonamiento, de la argumentación válida, tanto en el ágora como en el primigenio discurso lógico y matemático, han acabado siendo un punto de referencia clave a la hora de fundamentar el discurso del rigor y la claridad y donde no tiene cabida ninguna «información de contrabando» que pueda provocar una autocontradicción. Sin embargo, la mariposa de las paradojas continúa volando en el seno del universo de los discursos, como una de las muestras de creatividad más logradas en los espacios de la cultura. referencias Sebastià Serrano. Catedrático emérito de Lingüística de la Universidad de Barcelona. Ha publicado diversos estudios sobre lingüística, semiótica y teoría de la comunicación. Obtuvo la Creu de Sant Jordi de la Generalitat de Cataluña en 2003. Su primer libro, premio Anagrama de ensayo, fue Elementos de lingüística matemática (Anagrama, 1975). Dos de sus libros más recientes son La fiesta de los sentidos (Now Books, 2009) y Del amor, la mentira y la persuasión (Destino, 2013). |
«Hacia 1885 el matemático alemán Georg Cantor formula una teoría atractiva y vigorosa que significaría un reto muy fuerte para la intuición, la famosa teoría de conjuntos»
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