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A World in your Pocket: Santiago Calatrava’s folding Geometry. In Santiago Calatrava’s work the mathematical ideas do not just appear in the computations needed to carry out the projects. These ideas are the foundation of his creative process, greatly influenced by his doctoral thesis, in which he explores the geometric principles applied to constructions with folding structures. Hace ya algunos años, los estudiantes de uno de mis cursos de geometría se quejaban envidiando la suerte de aquellos que seguían un curso de botánica y que estaban recibiendo su clase al aire libre: en efecto, un pequeño grupo deambulaba mientras atendía las explicaciones que su profesor iba dando sobre las plantas que se encuentran alrededor de los edificios. Ellos entretanto, entre fórmula y fórmula, sólo tenían ocasión de entrever su objeto de estudio a través de los dibujos que, con mejor voluntad que arte, yo me esforzaba en trazar en la pizarra y de alguna que otra enlatada y fría imagen de ordenador. Ante esa queja, se me ocurrió que nosotros también podíamos salir al campo: podíamos ir de excursión a la Ciudad de las Artes y de las Ciencias. Entrando en el museo podíamos interesarnos por la relación entre el péndulo de Foucault y la teoría del transporte paralelo en superficies, observar cómo la naturaleza tiene una cierta inclinación a enroscarse, a componer espirales, hélices y entretenernos con algunos juegos. Pero no era éste nuestro verdadero objetivo; en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias hay muchas matemáticas, pero no precisamente dentro del museo. Aquí el continente supera con creces al contenido: el verdadero bosque geométrico está en las construcciones, y en aquel entonces todavía era más palpable, pues muchos de los edificios mostraban aún sus esqueletos. Parece innecesario recordar aquí que, detrás de una obra de arquitectura o de ingeniería de tal envergadura, debe haber una cantidad impresionante de cálculos matemáticos y de consideraciones físicas que hayan permitido su realización técnica, la consecución del aparente milagro que hace que unos bocetos, que en ocasiones parecen sacados de un sueño, o al menos de una ensoñación del artista, tomen cuerpo y se sostengan. Lo que ya no es tan fácil de descubrir es que en la base del proceso creativo no sólo se encuentran estas formas soñadas, poéticamente imaginadas e inspiradas por formas de la naturaleza sino que en este proceso creativo interviene en gran medida el interés de Santiago Calatrava por dos problemas que le han atraído desde siempre. Se trata, por un lado, del problema de cómo representar el movimiento de estructuras complejas y, por otro, de cómo representar superficies curvadas con formas intrincadas. Tampoco es fácil adivinar que antes de lanzarse a construir estos universos geométricos pasara años entregado a la realización de los estudios teóricos y abstractos conducentes a la resolución de estos problemas que fueron el centro de su tesis doctoral y siguen siéndolo de sus actuales investigaciones. Una tesis doctoral La tesis doctoral culminó en 1981 un largo período de formación, que había comenzado en la Universidad Politécnica de Valencia, en cuya Escuela de Arquitectura terminó sus estudios en 1975. Ese mismo año se trasladó al ETH (Instituto Federal de Tecnología) de Zúrich, donde, tras finalizar los estudios de ingeniería, comenzó su investigación “Sobre la plegabilidad de estructuras”, recientemente publicada en inglés¹. Al leerla se tiene la sensación de vérselas con un trabajo de alguna de las especialidades más abstractas de las matemáticas: definiciones precisas, abstracción de los problemas concretos, razonamientos y fórmulas generales dirigidas a obtener un protocolo de resolución de los problemas, y estudio concreto de modelos simples que combinados pueden dar lugar a innumerables casos particulares. En palabras del propio autor “el trabajo describe los principios geométricos que se aplican a la construcción de armazones plegables” y es su objetivo “formular las relaciones geométricas e investigar sistemáticamente tanto aquellas relaciones como sus aplicaciones a las estructuras compuestas por barras y articulaciones para obtener estructuras plegables”. El trabajo se centra en “la investigación de elementos modulares básicos para la formación de tales estructuras. La organización de estos elementos en retículos planos o espaciales permite la formación de armazones que, además de su función primaria de ser estructuras que soporten las cargas, estén diseñados también para plegarse”.
En la secuencia de fotos se explica el proceso de plegado de las puertas de acceso en la sala subterránea de la plaza del Ayuntamiento de Alcoy. Un armazón está constituido por barras conectadas por articulaciones o puntos nodales. Si todas las barras son paralelas a un único plano, se dice que el armazón es plano, y en caso contrario se dice que es espacial. Desde el punto de vista estático, la resistencia y la estabilidad dimensional son las propiedades más importantes. La resistencia requiere un diseño apropiado de todos los componentes de acuerdo con la carga aplicada, mientras que la estabilidad dimensional exige que se conserve la forma en todo el sistema. Esta estabilidad se calcula con una fácil fórmula en términos del número de barras y el de articulaciones. El plegado, como un medio para cambiar la forma de un armazón, contradice el principio de estabilidad en tanto que esta última es la capacidad de retener la forma. Así una estructura plegable debe necesariamente ser inestable. Se dice, pues, que un armazón o estructura es plegable si es posible realizar un movimiento relativo entre las barras, aflojando, de manera intencional, las articulaciones. La secuencia de plegado incluye lo que se conoce como movimientos rígidos que son combinaciones de traslaciones y rotaciones. Este tipo de estructuras deben diseñarse atendiendo no sólo a condicionamientos estáticos sino también cinemáticos, es decir, son en realidad mecanismos que al final de la transformación volverían a ser estructuras estables, frenando las articulaciones. Es indudable que resulta útil que una estructura arquitectónica tenga partes móviles y formas que le permitan adaptarse a las diferentes necesidades, pero su construcción plantea graves problemas de tipo mecánico y, por supuesto, también de estabilidad. Un antecedente lejano de estudios teóricos sobre estas estructuras plegables se puede encontrar en las máquinas voladoras de Leonardo da Vinci, quien, a su vez, se inspiraba en las alas de murciélagos, aves e insectos. Un ejemplo ya más cercano son las estructuras diseñadas para los componentes tecnológicos que se usan en el equipamiento espacial: piénsese en los paneles solares y en las antenas. Deben ser fáciles de transportar y de modificar su forma y posición por control remoto, pero, además, la geometría que deben tener una vez desplegada está completamente determinada por los objetivos que tienen que cumplir. Está claro que, al igual que para las estructuras plegables, el primer reto es la resolución del problema geométrico de visualizar la transformación que experimenta la forma de la estructura desde que está en la posición plegada hasta que llega a la posición desplegada. Este primer problema es el que ataca Calatrava en su tesis doctoral, y lo hace dividiéndolo en dos partes. La primera es la de modelizar las transformaciones geométricas de las estructuras de soporte tridimensionales en ordenamientos más compactos, y la segunda es la de articular la conexión mecánica. Procedió para ello a un enfoque de la cuestión general y abstracta que le sirviera para obtener un gran número de esquemas alternativos de una manera ordenada, por eso volvió sus ojos hacia las matemáticas, en particular a la teoría de las transformaciones que trata de las construcciones geométricas y al estudio de una familia de dispositivos mecánicos que se conocen como sistemas articulados que están hechos con barras conectadas en puntos donde pivotan con ciertos grados de libertad. “Así, mientras las barras de longitud fija se mueven en los límites que les permiten las restricciones de las juntas, su topología permanece constante aunque varíe la configuración geométrica.” Un sistema articulado sencillo es un compás que además permite dibujar circunferencias; otros instrumentos más complicados permiten dibujar curvas más complejas: parábolas hipérbolas, cardioides, epicicloides. Otro ejemplo es el procedimiento descrito en el artículo de J. Monterde para la construcción del paraboloide hiperbólico: un sistema formado por dos barras y una familia de láminas cuyos extremos se unen mediante articulaciones a cada una de las barras. Los sistemas articulados de Calatrava producen superficies mucho más complicadas que ésta. Su repertorio de estructuras plegables puede verse como una especie de juego de compases capaces de describir un gran número de superficies curvadas complejas que facilitan su proceso de diseño. Un ejemplo sencillo y cercano El conjunto de los edificios que componen la Ciudad de las Artes y de las Ciencias tiene en su arquitectura un elemento particular común, aparte de las características materiales y formales. Se trata del hecho de disponer de una serie de elementos plegables básicos diferentes los unos de los otros. Estos elementos son el telón cancela de la gran sala de música de ópera y las puertas cancelas del edificio del planetario, entre otros.
El conjunto de los edificios que componen la Ciudad de las Artes y de las Ciencias tiene en su arquitectura un elemento particular común, a parte de las características materiales y formales. Se trata del hecho de disponer de una serie de elementos plegables básicos diferentes los unos de los otros. Empecemos por un ejemplo sencillo: dispongamos sobre un plano horizontal unas barras como se muestra en la figura 1. Suponemos que los vértices están articulados y las tres aristas de color violeta están fijadas al plano. Si tomamos el vértice del triángulo y lo hacemos girar 90 grados alrededor de la base habremos producido en las barras verdes un giro igual, hasta dejarlas en planos verticales, y en la barra central amarilla un desplazamiento en el que se ha mantenido horizontal. El resultado final es el armazón de un tejado a dos aguas. Si en lugar de un simple armazón con juntas articuladas podemos pensar en algo más elaborado: rellenando el triángulo, recubriendo los dos cuadriláteros con láminas paralelas a las barras verdes articuladas en ambos extremos y realizando el giro del vértice (o de cualquier punto de la barra amarilla) con algún mecanismo, tenemos una cubierta plana plegable muy semejante a la que Calatrava utilizó en la Plaza del Ayuntamiento de Alcoy. Hemos de pensar que el segmento amarillo puede ser sustituido por otra figura geométrica, con lo que varía la forma del objeto pero no el principio de funcionamiento: en Alcoy está sustituido por un cuadrilátero que da a la estructura plegada la forma de un pentágono, como se ve en la figura 1. Las cuatro puertas de la estación de metro de Valencia están basadas en el mismo principio, aunque en este caso el esquema inicial correspondería al de la figura 2 donde las láminas tienen distinta longitud: una vez abierto, las paredes laterales, aunque constituidas por láminas, como antes, ya no son planos. La proyección de cada lámina en el segmento amarillo, que es ortogonal al eje de rotación, es siempre la misma, y está claro que tiene que ser la altura del triángulo que pivota. El ángulo que cada lámina forma con su eje de rotación debe permanecer constante en todo el proceso de apertura variando para cada lámina entre los casi 90 grados de las primeras y el ángulo del triángulo que pivota. El segmento horizontal puede sustituirse por otra figura geométrica, que en el caso de las puertas del metro ha sido un triángulo.
Esquema del funcionamiento de las puertas de entrada a la sala subterránea de la plaza del Ayuntamiento de Alcoy (figura 1) y a la estación de metro Alameda de Valencia (figura 2). Durante la apertura, los segmentos marcados en violeta se quedan fijos, las zonas de color verde, realizan un giro y las amarillas se desplazan horizontalmente. Para terminar, veamos como el propio arquitecto las describe: Olga Gil Medrano. Departamento de Geometría y Topología, Universitat de València. |
La secuencia de plegado de una estructura incluye lo que se conoce como movimientos rígidos, que son combinaciones de rotaciones y traslaciones. Proceso de plegado de las puertas de acceso a la estación el metro de la Alameda de Valencia desde el exterior.
«Aquí el continente supera con creces al contenido: el verdadero bosque geométrico está en las construcciones»
Proceso de plegado de las puertas de acceso a la estación del metro de la Alameda de Valencia, visto desde el interior.
«Calatrava optó por considerar la cuestión de manera general y abstracta, un enfoque que le sirviera para obtener un gran número de esquemas alternativos de una manera ordenada, por eso volvió sus ojos hacia las matemáticas»
Proceso de plegado de la puerta de L’Hemisfèric, en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias. |
