De Aristóteles a la teoría de los grafos

«La celebración del Año Llull ha puesto en evidencia las dimensiones excepcionales de la inteligencia creativa en el pensamiento y en la escritura de este mallorquín universal»

Ramon Llull (1232-1316) fue un hombre de vida espiritual intensa que concibió y promovió el Arte: una técnica intelectual formalizada, apta para convertir a los infieles, estimular la vida espiritual de los cristianos y fundamentar todas las ramas del saber. El proyecto misionero y apologético luliano buscaba la aprobación de la Iglesia y reclamaba el apoyo económico del poder político cristiano. Llull residió en Mallorca y en Montpellier, pero también en París y en Roma y realizó viajes apostólicos por el norte de África y por el oriente del Mediterráneo. El catálogo de sus obras alcanza unos doscientos sesenta títulos en catalán y en latín: escritos en prosa literaria como el Llibre de contemplació en Déu o el Llibre de meravelles; varias versiones del Arte, como el Art demostrativa o el Ars generalis ultima; escritos de polémica religiosa como el Llibre del gentil i dels tres savis; monografías teológicas, filosóficas y científicas; diálogos; sermones; aforismos; poemas; novelas como el Romanç d’Evast e Blaquerna; y una autobiografía, Vida de mestre Ramon. Hasta el siglo xix Llull fue leído como filósofo y místico; desde la Renaixença se ha valorado su faceta de escritor pionero en lengua catalana. La celebración del Año Llull en 2016, con ocasión del séptimo centenario de su muerte, ha puesto en evidencia las dimensiones excepcionales de la inteligencia creativa en el pensamiento y en la escritura de este mallorquín universal (encontrarán más información biobibliográfica en la base de datos Ramon Llull de la Universidad de Barcelona, 2002).

Llull describe el saber enciclopédico del siglo XIII

Muchas obras lulianas absorben en medidas y términos diferentes un repertorio extenso de nociones de carácter enciclopédico. Las más importantes son el Llibre de contemplació en Déu (1271-1274), la Doctrina pueril (1274-1276), el Fèlix o Llibre de meravelles (1288-1289), la Taula general (1293-1294), el Arbre de ciència (1295-1296) y el Ars generalis ultima (1305-1308) (Badia, 2004). La entrada de materiales enciclopédicos en la obra de Llull hay que situarla históricamente en el marco de la circulación en vulgar del saber para uso de los laicos, que es un rasgo típico de la vernacularización del saber (véase Cifuentes, 2006; y el portal Sciència.cat [Universidad de Barcelona, 2006]). Las primeras manifestaciones de este fenómeno de alcance europeo son en latín y se remontan a mediados del siglo xii, con obras como el Dragmaticon philosophiae de Guillermo de Conches, que era un maestro de la catedral de Chartres. En esta obra, escrita en un latín bastante elegante y repleta de recuerdos de Séneca y de Cicerón, un maestro dialoga con un duque sobre varios aspectos de filosofía natural. Es importante señalar que eso tiene lugar antes de la difusión en Occidente del corpus aristotélico, una irrupción de información filosófica y científica que transformó la cultura europea. La traducción catalana del Dragmaticon philosophiae, datada en el siglo xiv, recuerda muy de cerca, desde el punto de vista formal y expresivo, algunos fragmentos del Fèlix y del Arbre de ciència.

«La ‘Doctrina pueril’ es un manual de educación primaria que se centra en la formación cristiana. Llull nos proporciona el cuadro de los conocimientos sobre el hombre y la naturaleza que consideraba básicos»

Sin embargo, Llull produce su obra cuando el proceso de asimilación de las traducciones de Aristóteles –especialmente de la Física y de los Analíticos posteriores– ya se ha consolidado en los curricula universitarios de París y de Oxford desde la segunda mitad del siglo xii. También es posterior a la redacción de las grandes sumas escolásticas, como los monumentales Specula de Vincent de Beauvais o el De rerum propietatibus de Bartolomé de Inglaterra, que son de mediados del siglo xiii. En los medios monásticos y universitarios de los tiempos de Llull existía una amplia disponibilidad de información sobre los reinos humano, natural y divino. Llull lo explica en la Doctrina pueril (véase Fidora y Rubio, 2008; y Pring-­Mill, 1991).

Monumento de Josep Maria Subirachs dedicado a Ramon Llull en el monasterio de Montserrat (Barcelona). La obra representa la Escalera del Entendimiento, formada por ocho escalones ascendentes: piedra, llama, planta, bestia, hombre, cielo, ángel y, finalmente, Dios. / Mètode

La Doctrina pueril es un manual de educación primaria que se centra en la formación cristiana. Llull nos proporciona el cuadro de los conocimientos sobre el hombre y la naturaleza que consideraba básicos. En primer lugar, se pasa revista al trivio: de la gramática, la lógica y la retórica, Llull recomienda sobre todo la segunda. Del cuadrivio le interesa en especial la astronomía. La geometría y la aritmética sirven para aprender a medir y a calcular, y la música, para alabar a Dios. Llull desaconseja el estudio de la geometría y de la aritmética, porque «artes son que requieren todo el humano pensamiento, el cual ha de tratar de amar y contemplar Dios».

A propósito de «De la ciència de natures» describe los cinco «principios de naturaleza» y propone en esquema la teoría de los cuatro elementos (fuego, aire, agua y tierra), ordenados por las relaciones de concordancia y contrariedad. Para ampliar los conocimientos se sugiere la siguiente lista de obras aristotélicas (o pseudo): Metafísica, Física, Del cielo, De la generación y de la corrupción, De los meteoros, Del alma, Del sueño y de la vigilia, De la sensación y de lo sensible, De los animales, De las plantas y de las hierbas. Llull está describiendo la formación básica que se adquiría en la facultad de artes, que constituía el primer ciclo de los estudios universitarios medievales.

La Doctrina pueril completa el cuadro con una introducción elemental a la medicina hipocrático-galénica inspirada en la Isagoge de Joannici, presente en el Articella, el primer libro de texto de las facultades de medicina del siglo xiii. Llull expone el contenido de las «siete cosas naturales» (elementos, complexiones, humores, miembros, virtudes, operaciones y espíritus), de las «seis cosas no naturales» (respirar, hacer ejercicio, comer y beber, dormir y velar, llenar y vaciar, y los accidentes o pasiones del alma), y de las «tres cosas contra naturaleza» (enfermedad, ocasión de enfermedad, accidente morboso). Explica con precisión las nociones de salud y enfermedad describiendo una medicina preventiva, que incluye consejos propios de los regimientos de sanidad. En el capítulo titulado «De la manera segons la qual hom deu nodrir son fill», Llull ofrece un pequeño regimiento de infancia (véase Badia, Santanach y Soler, 2013).

Detalle de una miniatura de Ramon Llull del Breviculum de Karlsruhe, códice del siglo XIV sobre la vida del pensador mallorquín. / Any Llull

Llull reelabora el saber enciclopédico del siglo XIII

La principal innovación de Llull en el tratamiento del repertorio de conocimientos básicos la encontramos en el Fèlix o Llibre de meravelles, escrito en París entre 1287 y 1289 y que se puede considerar un manual de filosofía para laicos. En esta obra, que no tiene versión latina, Llull utiliza los ejemplos y las semejanzas para explicar fenómenos naturales a través de metáforas morales, políticas o teológicas. Los ejemplos del Fèlix contienen materiales alegóricos, muchísimas anécdotas sobre la conducta social de burgueses, caballeros y clérigos, situaciones de casuística moral individual y nociones de filosofía natural que casi siempre se presentan en conexión con una realidad paralela teológica o moral. Las conexiones de este tipo se basan en la noción de semejanza, es decir, la analogía que existe entre los diferentes órdenes de la realidad. La información significativa de la semejanza no la aporta el contenido de las dos unidades que se ponen en relación, sino la analogía estructural que se establece entre ambas (véase Badia, Santanach y Soler, 2013).

Llull formuló la función pedagógica de la analogía entre la realidad divina, física y moral en los Començaments de medicina, de 1274-1276, dando un sentido especial al término metáfora. ¿Cómo puede ser que se hable de la trinidad y de la encarnación o de los principios del derecho en una obra que describe las bases de la ciencia de los médicos? Pues para que hablando a través de metáforas, es decir, de conexiones analógicas, los médicos puedan acceder a conocimientos teológicos o jurídicos partiendo de sus competencias específicas.

El Llibre de meravelles es la versión en forma de enciclopedia para laicos del Art demostrativa, la primera formulación completa del método general luliano para todas las ciencias y los saberes. Los ejemplos del Llibre de meravelles están pensados para hacer llegar a un público no académico todos los conocimientos que conducen al hombre a la salvación: la forma literaria que los rodea ayuda a establecer las conexiones con los contenidos.

«Los ejemplos del ‘Llibre de meravelles’ están pensados para hacer llegar a un público no académico todos los conocimientos que llevan al hombre a la salvación»

El Arbre de ciència es el más elaborado de los repertorios de conocimientos básicos lulianos: es una «nueva» enciclopedia, en el sentido que Llull da al adjetivo nuevo cuando lo aplica a las reformulaciones que ofrece para las diversas ciencias y actividades humanas, de la lógica a la astronomía pasando por la literatura. Y es que el Arbre de ciència no es sino una versión intencionadamente «fácil» del Arte de Llull, tal como lo había reelaborado a partir de 1290 en la versión de cuatro figuras y dieciocho principios que culmina en el Ars generalis ultima de 1305-1308. El Arbre de ciència despliega catorce árboles temáticos (elemental, vegetal, sensual, imaginal, humanal, moral, imperial, apostolical, celestial, angelical, eviternal, maternal, cristianal y divinal) y dos instrumentales (ejemplifical y cuestional). Las raíces de los dieciséis árboles son idénticas: los nueve principios de la Figura A (bondad, grandeza, eternidad, poder, sabiduría, voluntad, virtud, verdad y gloria) y los nueve de la Figura T (diferencia, concordancia, contrariedad, principio, medio, fin, mayoridad, igualdad, minoridad). Todos los árboles tienen siete partes, así que todos se organizan de una forma homóloga: raíces, tronco, ramas, ramos, hojas, flores y frutos (véase Badia, Santanach y Soler, 2013).

La ciencia universitaria a la que Llull dedicó más atención es la medicina. Pero en las obras sobre la ciencia de la salud no habla de sanar pacientes, sino de reducir los principios de la teoría médica heredada a una sistemática matematizable, que facilite los diagnósticos y la confección de medicamentos compuestos. / Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte

Los dos árboles instrumentales del Arbre de ciència son el Árbol de los ejemplos y el Árbol de las cuestiones. El Árbol de los ejemplos proporciona materia prima para la predicación, a través de lo que Pring-Mill (1991) describió como la «transmutación de la ciencia en literatura». El Árbol de las cuestiones, además de presentar una clara finalidad didáctica –repasar los contenidos–, despliega la función inventiva del Arte, es decir, la de deducir nociones particulares de las generales. El esfuerzo de sistematización del saber en el Arbre de ciència descansa sobre la naturaleza homóloga de la estructura arbórea y la identidad de las raíces y descarta el designio de catalogar todos los datos propios de las enciclopedias convencionales acumulando información de detalle: Llull no explica qué son las cosas, sino cuáles son las relaciones entre las cosas integradas en una concepción global del conocimiento.

Las monografías científicas de Llull

La ciencia universitaria a la que Llull dedicó más atención es la medicina. Tenemos cuatro monografías de tema médico: Començaments de medicina (1274-1278), el Ars compendiosa medicinae (1285-1287), el De levitate et ponderositate elementorum (Nápoles, 1294) y el Liber de regionibus sanitatis et infermitatis (Montpellier, 1303). Solo la primera se ha conservado en versión catalana. Las obras de Llull sobre la ciencia de la salud no constituyen un corpus autónomo con una proyección, digamos, clínica. Llull no habla, en efecto, de sanar pacientes, sino de reducir los principios de la teoría médica heredada (Hipócrates, Galeno, Avicena, Averroes, Rhazes, al-Kindi) a una sistemática matematizable, que facilite los diagnósticos y la confección de medicamentos compuestos. Veamos cómo lo hace en Començaments de medicina (Badia, 2004). El tratado se articula, a través de una figura, en tres árboles o ramas arbóreas que arraigan sobre los cuatro humores (cólera, sangre, flema y melancolía), es decir, la ciencia médica enseñada en las universidades de las que se habla en la Doctrina pueril.

«La principal innovación en el tratamiento del repertorio de conocimientos básicos la encontramos en el ‘Fèlix’ o ‘Llibre de meravelles’, que se puede considerar un manual de filosofía para laicos»

La innovación más operativa de esta primera incursión de Llull en la medicina es el mecanismo del «vencimiento», devictio en latín, un procedimiento que permite calcular qué cualidades elementales predominan en cualquier mezcla de componentes dotados de complexión (húmeda, seca, fría o caliente), según el número de ocurrencias y las condiciones propias y apropiadas de las cualidades implicadas. Así, el vencimiento permite calcular la composición elemental de las mezclas para la preparación de fármacos. Con esto Llull solucionaba un problema técnico de sus días. Los compiladores árabes habían transmitido al occidente cristiano varias interpretaciones de la teoría galénica de los grados de presencia de las cualidades de los cuatro elementos (calor, sequedad, frialdad y humedad) en las hierbas y otros elementos llamados «simples» que servían para preparar los medicamentos «compuestos»; estas interpretaciones eran objeto de debate en las universidades. Concretamente en Montpellier fue Arnau de Vilanova el autor de unos Aphorismi de gradibus (1308), que parecen responder a un sustrato de discusiones común a la solución creativa que propone Llull.

En astronomía, el descubrimiento luliano del vencimiento sirve para interpretar las conjunciones de los astros entre ellos y con los signos zodiacales jugando con la composición elemental de los unos y de los otros. El vencimiento astrológico luliano facilita la formulación de los «juicios» astrológicos: es un procedimiento fácil y económico, que puede echar una mano a quienes, como dice Llull, «han treball» en un estudio demasiado largo o costoso. Eso es lo que promete el prólogo del Tractat d’astronomia (1297), otra monografía científica que se ha conservado en versión catalana. La descripción de los doce signos y de los siete planetas, con las características de la tradición ptolemaica de transmisión árabe, se complementa con la de los principios del Arte, tomados de la Taula general. La discusión de cada uno de los principios de la Taula general aplicados a los planetas y al zodíaco abre la puerta de los «secretos» astronómicos, es decir, las influencias que causan los fenómenos naturales como las estaciones o las enfermedades de las diferentes partes del cuerpo. Atención: los astros no influyen en la voluntad, de otro modo el hombre no sería libre de elegir entre el bien y el mal.

Como en el caso de los Començaments de medicina, la aportación teórica de Llull a la astronomía, que era una de las disciplinas escolares del cuadrivio como hemos visto a propósito de la Doctrina pueril, tiene dos vertientes: la sistemática y la práctica. En este último sector es donde menciona unas tablas de las posiciones de los astros. Lo hace sin ningún especial énfasis, como hablando de un material de uso, dado, accesible.

Los grafos muestran relaciones entre parejas de objetos o conceptos como las que se establecen entre los vértices interconectados por aristas. Llull también encontró la forma de representar relaciones binarias en versión tabular, tal como se observa en esta figura del Art breu. / Centro de Documentación Ramon Llull

El desinterés por las tablas contrasta con la mención del astrolabio en la Doctrina pueril, presentado como una herramienta para medir el tiempo a través de la proyección de la sombra del sol, y sobre todo con la descripción de la esfera de la noche o nocturlabio, que es un aparato documentado en Europa desde el siglo x. El tercer aparato de medida mencionado por Llull, también en la Doctrina pueril, es el cuadrante, del que se dice que sirve para calcular la altura de una torre: Llull propone un problema de medida altimétrica de interés militar documentado en textos medievales de geometría práctica.

Ramon Llull y el razonamiento diagramático

Es un lugar común de las presentaciones de Llull y del lulismo citar la influencia del Arte en el cálculo combinatorio que Gottfried Wilhelm Leibniz formuló por primera vez. En su Dissertatio de arte combinatoria de 1666, el fundador de este filón de las matemáticas reconoce que el Arte es un precedente de su descubrimiento porque supo calcular el número de combinaciones posibles a partir de unos elementos dados con medios gráficos ingeniosos y eficaces (véase el segundo volumen de Carreras i Artau y Carreras i Artau, 2001).

En el capítulo 24 del Romanç d’Evast e Blaquerna, Llull propone un procedimiento para elegir a la abadesa de un monasterio y retoma el tema en los breves tratados Artificium electionis personarum (1274-1283) y De arte electionis (1299). El sistema de votación de Llull, a medio camino entre la democracia y la búsqueda del candidato objetivamente más cualificado, propone el análisis de un cierto número de combinaciones binarias entre los votos de un reducido grupo de compromisarios previamente escogidos. Los procedimientos de elección lulianos son el precedente indiscutible de una rama de la matemática aplicada moderna, la teoría de la votación, que se empezó a desarrollar en Francia en tiempos de la Revolución y que no ha sido desarrollada del todo hasta la década de los cuarenta del siglo pasado.

En un artículo de 2007 Anthony Bonner y Albert Soler ofrecen el estudio codicológico del manuscrito más antiguo del Ars compendiosa inveniendi veritatem, el Vat. Lat. 5112, que es una versión del Arte que Llull escribió inmediatamente después de la iluminación de Randa en 1274. Llull expresa su sistema por primera vez a través de diagramas circulares y tabulares; las explicaciones en prosa –el texto propiamente dicho– están presentadas como una glosa añadida. En el Art demostrativa, que es la versión más completa de la primera fase del Arte, la fase llamada cuaternaria, las figuras se convierten en una especie de complemento gráfico de un libro que se presenta en un formato más estándar. Llull trabajó toda la vida para obtener una formulación de su intuición original que fuera de uso fácil y cómodo para sus lectores. El punto de llegada es el Ars generalis ultima de 1305-1308, que cuenta con una versión de bolsillo, el Art breu, de 1308.

Tirando del hilo de la naturaleza y la función de las figuras en las Artes de Llull, Anthony Bonner y Albert Soler han localizado dos nuevas muestras de intuición matemática en el núcleo duro del sistema luliano: la teoría de los grafos se amplía con la de los hipergrafos y la de los retículos. La figura S del Art demostrativa, un hipergrafo de base cuatro, relaciona las potencias del alma, entendimiento, memoria y voluntad en el acto del conocimiento. / Centro de Documentación Ramon Llull

Anthony Bonner ha identificado y descrito el uso de organizaciones relacionales en forma de grafo en las Artes lulianas de la primera fase en L’Art i la lògica de Ramon Llull. Manual d’ús (Bonner, 2012). Los grafos muestran relaciones entre parejas de objetos o conceptos. Llull también encontró la forma de representar relaciones binarias en versión tabular: son las que llama segundas figuras, formadas por unos triángulos de casillas. Estos triángulos están en las medias matrices de adyacencia de la moderna teoría de los grafos.

Tirando del hilo de la naturaleza y la función de las figuras en las Artes de Llull, Anthony Bonner y Albert Soler han localizado dos nuevas muestras de intuición matemática en el núcleo duro del sistema luliano: la teoría de los grafos se amplía con la de los hipergrafos y la de los retículos (Bonner y Soler, 2015). Llull introduce los hipergrafos a partir de las Artes de la etapa ternaria y afronta la dificultad de dar una representación en dos dimensiones de sus hipergrafos con el recurso de las ruedas giratorias, es decir, las que tienen en su interior varios círculos concéntricos que se pueden mover produciendo combinaciones de tres o más elementos. De estas ruedas giratorias, que en los estudios diagramáticos se llaman volvelles, Llull solo construyó dos: la figura demostrativa del Art demostrativa, que no acaba aún de desarrollar el mecanismo completo del hipergrafo, y la Cuarta figura de las Artes de la segunda fase. La figura S del Art demostrativa, que relaciona las potencias del alma, entendimiento, memoria y voluntad en el acto del conocimiento, es un hipergrafo de base cuatro sin aparato giratorio.

La Figura Elemental de las Artes de la primera frase también es un hipergrafo, pero Llull la resuelve aplicando otra intuición representativa, que modernamente se ha desarrollado a través de la teoría de los retículos (lattices en inglés), como una expansión de teoría matemática de conjuntos. La teoría de los retículos está presente en las representaciones lulianas de la Figura Elemental de los Començaments de medicina y del Art demostrativa. La función estructuradora de los grafos, de los hipergrafos y de los retículos permite definir las figuras del Arte como un ejemplo de lo que, en la moderna ciencia, la tecnología o la administración de empresas, se llama razonamiento diagramático.